title：世界记录a.001.002.integral__dedekind_domain__valuation_ring_and_fractional_ideal
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这是第a部001类的第2篇。
目前主要参考《Algebraic Number Theory》J.S. Milner，pp 25-30+46-48
对于一个整环R，有一个包含R的域L。如果域中的元素x是以R为系数的首一多项式的根。那么就叫做x属于域K并且在环R上，整的。
remark #.1 : 对于不同的域K，会影响我们能够得到的元素x的多少。比如说对于正整数环\matbhh{Z}，我们取包含\mathbb{Z}的域\mathbb{Q}。很明显，首一多项式的根的集合就只是\mathbb{Z}自己。因为假设有分数根\frac{x} {y}，那么也就意味着有整系数其次多项式：
x^n + a_1 x^{n-1}y^1 + a_2 x^{n-2}y^2 + ... + a_n y^n 。
也就是说x^n最少有因子y。因此可以证伪不存在分式根。
而对于\mathbb{Q}的二次扩域\mathbb{Q} ( \sqrt{2} )。那么显然有\sqrt{2}是首一多项式x^2-2=0的根。
对于整的元素来说，一个最基本的一条是，无论用于包含R的域是大还是小。是超越扩张还整环R的分式域。这些整的元素构成的集合，都构成了一个环。
这一点我们可以采用Milne, James S. 在pp 26-27中的证法。
存在一个充要条件为：如果一个元素x对于包含于域L的环R是整的。充要于存在一个非零有限生成的，L的R子模M，使得xM \subset M。
prof :
1.首先我们令元素m为整，那么R[m]就是L的R子模。并且mM \subset M。因此充分得证。
2.若M是有限生成的，L的非零R子模。并且对于m，有mM \subset M。那么我们任取一个可以有限生成M的基：(x_1,x_2,...x_n)，x_i \in L。
于是就有：若我们任取x_i \in L，则有m x_i=a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 ... + a_{in} x_n 。
即 a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 +... (a_{ii} - m) x_i + ... a_{in} x_n = 0 。
也就是说，我们有方程组
(a_{11}-m) x_1 + a_{12} x_2 + ... a_{1n} x_n = 0
a_{21} x_1 + (a_{22}-m) x_2 + ... a_{2n} x_n = 0
...
a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + ... (a_{nn}-m) x_n = 0
也就是说，对于域L系的线性方程组来说。
设方程组满秩，则系数矩阵 C：
\begin{pmatrix}
a_{11}-m & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22}-m & ... & a_{2n} \\
... \\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-m
\end{pmatrix}有Det(C)不等于0。
但是由于初等行变换仍然保存方程组右侧的数全部为0。
故而只有唯一解：任意的i，x_i=0存在。又由于x_i为非零子M的有限生成元，故而不可能对于任意的i，x_i全为0。
因此Det(C)=0。
当然J.S. Milner说我们可以用Cramer’s rule得出对于任意的i， Det(C) \times x_i =0 。
关于Cramer’s rule的证明，这里我则推荐使用《高等代数(上册)》丘维声, pp 63-65 的证明部分，来了解并证明。
最后由于Det(C)=0，而观察m只处于主对角线可得：
域L上的行列式必定为首一，最高幂次为n的多项式
m^n + b_1 m^{n-1} + ... b_{n-1} x^1 + b_n = 0 。
故而，m对于包含于域L的环R是整的。
据此，命题的充要关系得证。
接下来通过这个等价关系来证明域K中在R上整的元素构成环。
若存在模M，xM \subset M。存在模N，yN \subset N。
则设定新模M \cdot N = {x_1 y_1+ x_2 y_2 +… x_n y_n | x_i \in M ， y_i \in N }
于是容易证明M \cdot N是有限生产的域K的子模。
又由于x M \cdot N \subset M \codt N，y M \cdot N \subset M \cdot N 。
所以(x+y) M \cdot N \subset M \cdot N，xy M \cdot N \subset y M cdot N \subset M cdot N 。
因此域K中在R上整的元素构成环，此命题得证。
因此，我们把在域K上关于R整的元素构成的环A，叫做 在域K中，环R的整闭包A。
O_{K}若为\mathbb{Z}的整闭包，且K是代数数域（\mathbb{C}的子域，\mathbb{Q}的代数扩域）。就把O_{K}叫做 域K 的(代数)整数环。
值得注意的是，这里有个著名的结论。不过我们稍后说明。
这里我们先证明一个很简单的，关于分式域的事实、
1.如果K是环A的分式域。域L包含域K，且x是域L中关于域K的代数扩元，那么存在d属于A，并且dx是A在域L上整的元素。
prof : 先考虑K和L的关系，x是K进行代数扩张得到的元素。所以有K系数多项式：x^n+a_1x^{n-1}+......+a_n=0 。
由于a_i是A的分式域K的元素，所以一定存在一个d \in A，使得对于任意的i，d \times a_i \in A。
那么考虑x^n+a_1x^{n-1}+......+a_n=0，有
(dx)^n + (d a_1) (dx)^{n-1}+......+d^n a_n = 0
由于d a_1，d^2 a_2，...，d^n a_n 都属于A，故而对于任意的 K到L 的代数元x，有d \in A。使得dx是整的元素。
2.若考虑环A与其分式域K，选择K的一个代数扩域L。那么如果R是L的整闭包，那么L应当是R的分式域。
prof : 其实这就意味着，任何属于L的元素x，都存在m \in R，d \in A，使得dx=m。也就是说，x=\frac{m} {d}。
即对于任意L的元素元素x，都可以找到元素m,d \in R，使得x=\frac{m} {d} 。故而L是R的分式域。
由于代数数域K一定是\mathbb{Q}的代数扩域，而\mathbb{Q}一定是\mathbb{Z}的分式域。因此我们可以得到刚才所说，在数论中的著名结论：
代数数域K一定是整数环O_{K}的分式域。
我们定义对于环A和他的分式域K，如果环A是他自己的整闭包，那么就叫环A为一个整闭整环。
一个重要的定理是：唯一因子分解整环(UFD)一定是一个整闭整环。(由于主理想整环(PID)一定是UFD，所以PID也一定是一个整闭整环)
prof : 若A是UFD，K是L的分式域。有 T = \frac{x} {y}，且 x,y \in A 。并且x与y没有除了可逆元以外的公因子。
若T是整的，那么就有
T^n+a_1 T^{n-1}+a_2 T^{n-2}+...+a_n=0 。
即有A系数齐次多项式：
x^n + a_1 x^{n-1}y^1 + a_2 x^{n-2}y^2 + ... + a_n y^n = 0 。
根据UFD存在唯一的素因子(UFD中不可约因子)分解，那么也就是说x^n最少有因子y。所以y必定是可逆元(unit)。
故而证明得：若T是整的，则T = \frac{x} {y} 且 y是可逆元，因此T \in A。
即：A是整闭整环。